$Uniswap$ $V2$ 组LP的原理是把交易对平均分配到所有的价格区间中，比如说交易对是$USDC$ 和 $ETH$, 组建LP的区间对应的 $ETH$ 的价格就是$(0, +\infty)$。这样的操作是最简单的，但对于资金利用效率而言，却不是最优的——如果 $ETH$ 的价格只在$(2,000, 4,000)$ 之间波动的话，那么其他区间的资金都是闲置的。
为了优化这个问题，$Uniswap$ $V3$ 就引用了在有限区间内提供流动性的设置，即用户可以在自己选择的区间内提供流动性，超过区间后，不再提供流动性，且资产持中价格高的那类资产的数量会变为$0$.
$Uniswap$ $V2$ 流动性池中的资产 $X$ 和 $Y$，遵循以下数量关系： $$ x \cdot y = k \tag{1} $$
其中 $x$ 和 $y$，代表资产 $X$ 和 $Y$ 的数量。
$Uniswap$ $V3$ 的模型同样也遵循上面的公式，只不过表示形式不同。为了让其更好理解，项目白皮书中引入了虚拟储备（$virtual \ reserves$）和实际储备($real \ reserves$)的概念，其中实际储备是实际投入的$LP$中的资金，虚拟储备则是为了满足公式(1)的数量关系而“凑”出来的数。
在图像上，就是把公式(1)所示的图像（下图蓝色曲线）向左向下平移一段距离后，得到一条新的图像（下图黄色曲线），新的图像就是在资产$X$的价格在区间 $[P_a,P_b]$ 时LP中的资产分布图。
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为例便于表示，$Uniswap\ V3$ 引入了表示流动性的 $L$ ,它满足下面的数量关系: $$ L= \sqrt{k} \tag{2} $$ 那么代入公式(1)，可以得到： $$ x \cdot y = L^2 \tag{3} $$ 关于资产 $X$ 的价格（以资产 $Y$ 表示），有以下数量关系： $$
\frac{y}{x} = P \tag{4}
$$ 根据公式(3)和公式(4)，可知 $x$ 、 $y$ 和 $P$ 之间的关系是：
$$ \begin{align} x &= \frac{L}{\sqrt{P}} \tag{5} \ \ y &= L \cdot \sqrt{P} \tag{6} \end{align} $$ 接下来求解资产 $X$ 和 $Y$ 虚拟储备的值，分别用 $x_{virtual}$ 和 $y_{virtual}$ 表示，真实储备则分别用 $x_{real}$ 和 $y_{real}$ 表示。
假设设定的提供流动性的资产$X$的价格区间是 $[P_a,P_b]$ 。
那么当价格 $P$ $\ge$ $P_b$ 时，$x_{real}=0$ ，此时根据公式(3)，有： $$ x_{virtual} \cdot y = L^2 \tag{7} $$
联系公式(6)，可以得到， $$ x_{virtual}=\frac{L}{\sqrt{P_b}} \tag{8} $$
同理，当$P$ $\le$ $P_a$ 时， $$ y_{virtual} = L\sqrt{P_a} \tag{9} $$
那么 $Uniswap$ $V3$ 的模型为： $$ (x+\frac{L}{\sqrt{P_b}})(y+L\sqrt{P_a} )=L^2 \tag{10} $$
根据公式(10)和公式(4)，就可以测算出资产$X$的价格$P\in[P_a,P_b]$ 时，需要的资产 $X$ 和 $Y$ 的数量各是多少。
根据白皮书，价格区间并非可以随意设置的，而是遵循下面的规则： $$ P_i = 1.0001^i \tag{11} $$ 其中，$i$ 是整数，英文名称是$tick$ ，中文名我不知道怎么翻译。这样设置的原因，是可以让每个价格都比上一个价格多0.01%。
另外$i$ 的取值也不是所有的整数，会根据资产持的不同费率有不同的间隔。比如，0.05%费率的间隔是10，0.3%费率的间隔是60，1%费率的间隔是200。举个例子，间隔是10，只有 $i$ 是10的倍数时，所代表的价格才是可被接受的价格。
因此，当你想要在相应区间提供流动性组件$LP$时，价格区间的端点值会先被标准化，标准化计算过程如下：
$$i_c = \left\lfloor \log_{\sqrt{1.0001}} \sqrt{P} \right\rfloor \tag{13}$$ $$\text{lowTick} = \left( \left\lfloor \frac{i_c}{\text{tickSpacing}} \right\rfloor \right) \times \text{tickSpacing}\tag{14}$$ $$\text{highTick} = \left( \left\lceil \frac{i_c}{\text{tickSpacing}} \right\rceil \right) \times \text{tickSpacing}\tag{15}$$
其中，$i_c$ 代表区间端点值价格对应的 $tick$，$\text{tickSpacing}$ 代表 $tick$ 之间的间隔。
如果是区间左端点，就依据公式14向下取整；如果是右端点，就依据公司15，向上取整。
以上就是自己测算资产 $X$ 和 $Y$ 在区间 $[P_a,P_b]$ 上提供流动性时，资产变动的所有数学公式，由此也可以测算，组 $LP$ 的无常损失，我做了一个Excel表格，可以自己测算。需要的可以点击阅读原文自取，因为网页版是使用的Google Sheet，没有途径学习上网的朋友在公众号后台回复“Uniswap”获取链接。